Fourier-reeksen zijn zeer geschikt voor de weergave van een periodieke functie met periode #2\pi# in termen van de goniometrische functies cosinus en sinus. Termen van de reeks kunnen worden gebruikt als benadering van periodieke stuksgewijs continue functies. Hier presenteren we de Euler-formules die ons in staat stellen om deze benaderingen te berekenen.
Een goniometrische reeks is een reeks functies #s_n# #(n = 1,2,\ldots)# gedefinieerd door
\[s_n(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{n} \left(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\right)\]
Hierbij zijn #a_k# (voor gehele getallen #k\ge0#) en #b_k# (voor gehele getallen #k \gt 0#) constanten. Dit zijn de zogenaamde de coëfficiënten van de goniometrische reeks.
We zeggen dat de reeks convergeert in #x# als #\lim_{n\to\infty} s_n(x) # bestaat.
Laat #f# een reële periodieke functie zijn met periode #2\pi#. Een Fourier-reeks van #f# is een goniometrische reeks functies #s_n# #(n = 1,2,\ldots)# zodanig dat voor elke #x# waarin #f# continu is, geldt
\[f(x) = \lim_{n\to\infty} s_n(x) \]
De coëfficiënten van een Fourier-reeks van #f# worden ook wel de Fourier-coëfficiënten van #f# genoemd.
Later zullen we laten zien dat een periodieke functie een Fourier-reeks heeft als ze stuksgewijs glad is. Onder de extra beperking van continuïteit, zullen we ook een sterkere vorm van convergentie bewijzen, die bekend staat als uniforme convergentie.
Ook zal blijken dat onder deze aannamen de Fourier-reeks uniek door #f# bepaald is, zodat, het begrip Fourier-coëfficiënten van #f# niet afhangt van de keuze van de Fourier-reeks van #f#.
Als de limieten bestaan, dan stellen de goniometrische reeksen periodieke functies voor van periode #2\pi#. Door schaling kunnen we zorgen voor een goniometrische reeks voor periode functies van willekeurige periode #p#. Daartoe moet het argument #x# vervangen worden door #\frac{2\pi x}{p}#. Dit komt neer op een schaling van het argument van de functie met de factor #\frac{2\pi}{p}#. Later zullen we willekeurige periodes te behandelen in meer detail.
Vaak schrijven we een goniometrische reeks zonder expliciet gebruik van de deelsommen #s_n#:
\[ \frac{a_0}{2} + a_1\cos(x) + b_1\sin(x) +a_2\cos(2x) +b_2\sin(2x)+ \cdots \]
of, compacter,
\[ \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}\left( a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\right) \]
In deze termen voldoet een Fourier-reeks voor #f# aan
\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \left(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\right) \]
voor alle #x# waarin #f# continu is. Dit zullen we later, in de stelling van Dirichlet' voor Fourier-reeksen, bewijzen. We schrijven wel #s(x)# voor het rechter lid, zodat #s(x) = \lim_{n\to\infty}s_n(x)#.
Als #a# en #b# constanten en #f# en #g# periodieke functies met periode #2\pi# en met Fourier-reeksen #s# en #t#, dan geeft het bij elkaar brengen van termen van #a\cdot s+ b\cdot t# met dezelfde goniometrische functie de Fourier-reeks van #a\cdot f+b\cdot g#.
Bijvoorbeeld, als we het feit gebruiken dat \[ \begin{array}{rcll} x&\text{Fourier-reeks}&\displaystyle {2}\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{n}\sin(k x)&\text{heeft}\\ &\text{ en }&&\\ x^2&\text{Fourier-reeks}&\displaystyle \frac{\pi^2}{3}+{4}\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k}}{n^2}\cos(k x)&\text{heeft}\end{array}\]
dan concluderen we dat \[\begin{array}{rcll} 2x^2+x&\text{Fourier-reeks}&\displaystyle \frac{2\pi^2}{3}+{4}\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{(-1)^{k+1}}{n}\sin(k x)+\frac{(-1)^{k}}{n^2}\cos(k x)\right)&\text{heeft}\end{array} \]
Omdat #0# een triviale Fourier-reeks heeft, blijkt uit deze waarnemingen dat de verzameling #2\pi#-periodieke functies met een Fourier-reeks een lineaire deelruimte van de vectorruimte van #2\pi#-periodieke functies vormt.
De noemer #2# in de term die #a_0# bevat, is zinvol in het kader van een inproductruimte. Preciezer gezegd, de functies #\frac12#, #\cos(k x)#, #\sin(k x)# #(k=1,2,\ldots)# vormen een orthonormaal stelsel in de inproductruimte van stuksgewijs continue #2\pi#-periodieke functies ten opzichte van het inproduct \[\dotprod{f}{g} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cdot g(x)\,\dd x\]
De verificatie van dit feit is een kwestie van berekening van een stel bepaalde integralen.
Eerst gaan we na dat #\sqrt12# norm #1# heeft.
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle\dotprod{\sqrt12}{\sqrt12}&=&\displaystyle \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac12\,\dd x \\ &=& \frac{1}{2\pi}\left[x\right]_{-\pi}^{\pi}\\ &=& 1\end{array}\]
Vervolgens gaan we na dat #\cos(k x)# norm #1# heeft voor elk positief geheel getal #k#.
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle\dotprod{\cos(k x)}{\cos(k x)}&=&\displaystyle \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(k x)^2\,\dd x \\ &=& \displaystyle\frac{1}{4\pi k}\left[\sin \left(2k x\right)+2kx\right]_{-\pi}^{\pi}\\&=&\displaystyle \frac{1}{4\pi k}\left(0+4\pi k\right)\\ &=& 1\end{array}\]
Net zo gaan we na dat #\sin(k x)# norm #1# heeft voor elk positief geheel getal #k#.
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle\dotprod{\sin(k x)}{\cos(k x)}&=&\displaystyle \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(k x)^2\,\dd x \\ &=&\displaystyle \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(1-\cos(k x)^2\right)\,\dd x \\ &=&\displaystyle \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1\,\dd x-\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(k x)^2\,\dd x \\ &=&\displaystyle 2- 1\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{ vanwege bovenstaande berekeningen}}\\ &=& 1\end{array}\]
De constante functie #\frac{1}{\sqrt2}# staat loodrecht op #\cos(k x)# voor elke positief geheel getal #k#.
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle\dotprod{\frac{1}{\sqrt2}}{\cos(k x)}&=&\displaystyle \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{\sqrt2}\cos(k x)\,\dd x \\ &=&\displaystyle \frac{1}{\sqrt2 \pi k}\left[\sin(k x)\,\right]_{-\pi}^{\pi} \\&=& 0\end{array}\]
De constante functie #\frac{1}{\sqrt2}# is also orthogonal to #\sin(k x)# heeft voor elke positief geheel getal #k#.
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle\dotprod{\frac{1}{\sqrt2}}{\sin(k x)}&=&\displaystyle \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{\sqrt2}\sin(k x)\,\dd x \\ &=&\displaystyle \frac{-1}{\sqrt2 \pi k}\left[\cos(k x)\,\right]_{-\pi}^{\pi} \\&=&\displaystyle \frac{-1}{\sqrt2 \pi k}\left((-1)^k-(-1)^k \right)\\&=& 0\end{array}\]
De functie #\cos(kx)# staat loodrecht op #\cos(\ell x)# voor alle positieve gehele #k# and #\ell# met #k\ne\ell#.
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle\dotprod{\cos(kx)}{\cos(\ell x)}&=&\displaystyle \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\cos(\ell x)\,\dd x \\&=&\displaystyle \frac{-1}{2\pi (\ell^2-k^2)}\left[ {{\left(\ell-k\right)\,\sin \left(\left(\ell+k\right)\,x\right)+\left(-\ell-
k\right)\,\sin \left(\left(k-\ell\right)\,x\right)}}\right]_{-\pi}^{\pi} \\&=& 0\end{array}\]
De functie #\sin(kx)# staat loodrecht op #\sin(\ell x)# voor alle positieve gehele #k# en #\ell# met #k\ne\ell#.
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle\dotprod{\sin(kx)}{\sin(\ell x)}&=&\displaystyle \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(kx)\sin(\ell x)\,\dd x \\&=&\displaystyle \frac{-1}{2\pi (\ell^2-k^2)}\left[ -{{\left(\ell-k\right)\,\sin \left(\left(\ell+k\right)\,x\right)+\left(\ell+
k\right)\,\sin \left(\left(k-\ell\right)\,x\right)}}\right]_{-\pi}^{\pi} \\&=& 0\end{array}\]
Tenslotte staat de functie #\cos(kx)# loodrecht op #\sin(\ell x)# voor alle positieve gehele #k# and #\ell# met #k\ne\ell#. Dit volt onmiddellijk uit het feit dat het interval symmetrisch is rond de oorsprong en dat de integrand een oneven functie is (dit begrip zal spoedig behandeld worden), maar hier is een bewijs door middel van berekening.
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle\dotprod{\cos(kx)}{\sin(\ell x)}&=&\displaystyle \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\sin(\ell x)\,\dd x \\&=&\displaystyle \frac{-1}{2\pi (\ell^2-k^2)}\left[ -{{\left(\ell-k\right)\,\cos \left(\left(\ell+k\right)\,x\right)+\left(\ell+
k\right)\,\cos \left(\left(\ell-k\right)\,x\right)}} \right]_{-\pi}^{\pi} \\&=& 0\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{de waarde van de primitieve in }\pi\text{ is gelijk aan de waarde in }-\pi}\end{array}\]
De Fourier-reeksen die we hier bespreken zijn van toepassing op reële functies en worden uitgedrukt in termen van reële functies.
De complexe Fourier-reeks heeft de vorm \[\sum_{k=-\infty}^\infty c_k\cdot\ee^{kx\ii}\]
waarbij #c_k# complexe getallen zijn.
Immers, \(\ee^{kx\ii} =\cos(kx)+\ii\sin(kx)\), zodat het reële deel van genoemde reeks gelijk is aan
\[\frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \left(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\right)\] waarbij
\[ a_0=2\Re(c_0),\qquad a_k = \Re(c_k) ,\qquad b_k = -\Im(c_k)\quad (k=1,2,\ldots)\]
tenminste, als de limiet van de reële delen van de eindige sommen #s_n# gelijk is aan het reële deel van de limiet #s# van de #s_n# en evenzo voor de imaginaire delen. Dit is vaak een gevolg van convergentie van de reeks.
Fourier-reeksen werden ingevoerd door de Franse wiskundige Joseph Fourier als een instrument in zijn werk aan partiële differentiaalvergelijkingen.
Voorlopig houden we ons niet bezig met convergentieproblemen en nemen we gewoon aan dat de Fourier-reeks bestaat voor de functies waar we mee werken. Eerst besteden we aandacht aan de berekening van de Fourier-coëfficiënten.
Stel dat #f# een #2\pi#-periodieke stuksgewijs continue functie is. De Euler-formules voor #f# zijn de volgende gelijkheden. \[\begin{array}{rcl}a_0&=&\displaystyle \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \dd x\\ a_n&=&\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(n x) \dd x\\ b_n&=&\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(n x) \dd x \end{array}\] waarbij #n\gt0#.
De constanten #a_0#, #a_n#, #b_n# #(n=1,2,\ldots)# worden de Euler-coëfficiënten van #f# genoemd.
Als #f# stuksgewijs glad is, dan is de goniometrische reeks \[ s_n (x)=\frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \left(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\right)\] waarvan de coëfficiënten gegeven worden door de Euler-formules, een Fourier-reeks van #f#.
Bereken de Euler-coëfficiënten van de functie
\[f(x) = \begin{cases} -1 &\mbox{if } -\pi \leq x \lt 0 \\ 1 &\mbox{if } 0 \leq x \lt \pi \end{cases} \]
uitgebreid tot een periodieke functie op de reële getallen door #f(x+2\pi)=f(x)#.
We beginnen met het berekenen van #a_0#. Met de bovenstaande formule krijgen we
\[a_0=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \dd x =0\]
Deze integraal verdwijnt omdat #f# een oneven functie is op het open interval #\ivoo{-\pi}{\pi}#.
Aangezien #f# oneven is en #\cos# even op #\ivoo{-\pi}{\pi}#, is het product #f(x)\cos(nx)# oneven voor elke #n#, zodat
\[a_n=\displaystyle\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\, \dd x =0\]
De coëfficiënten #b_n# berekenen we als volgt.
\[\begin{array}{rcl} b_n&=&\displaystyle\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,\dd x \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{Euler-formule}} \\&=&\displaystyle \frac{1}{\pi} \left[ \int_{-\pi}^{0} -\sin(nx) \dd x + \int_{0}^{\pi} \sin(nx) \,\dd x \right] \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{functievoorschrift voor }f} \\&=&\displaystyle \frac{1}{\pi} \left[ \left. \frac{\cos(nx)}{n}\right|_{-\pi}^{0} + \left. - \frac{\cos(nx)}{n} \right|_{0}^{\pi} \right] \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{primitieve bepaald}} \\&=&\displaystyle\frac{1}{n\pi}(1-\cos(-n\pi) - \cos(n\pi) + 1) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{grenswaarden ingevuld}} \\&=&\displaystyle \frac{2}{n\pi}(1-(-1)^n)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\cos(n\pi)=-(1)^n} \\ \end{array}\]
Omdat #b_k=0# als #k# oneven is, vervangen we sommatie over #k# door sommatie over #n#, waarbij #k=2n+1#. Dit geeft de volgende uitdrukking voor de Fourier-reeks van #f#.
\[\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(1-(-1)^k)}{k}\sin(kx) = \frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin((2n+1)x)}{2n+1}\]
De waarde van de Fourier-reeks in #0# is #0# omdat #\sin(0) =0#. Dit is gelijk aan de halve som van de linker limiet #f_-(0) = \lim_{x\uparrow0}f(x)# en de rechter limiet #f_+(0)=\lim_{x\downarrow0}f(x)#. Later zullen we zien dat dit geen toeval is.
De formules suggereren dat de Fourier-reeks van #f# uniek is onder de voorwaarden van de uitspraak. Later, bij de behandeling van de sterkere soort convergentie, zullen we zien dat dit inderdaad het geval is als de waarden van #f# bij elke sprong discontinuïteit #a# worden genomen als #\frac{f_+(a)+f_-(a)}{2}#, waarbij #f_+(a)# en #f_-(a)# zijn zoals in de definitie van stuksgewijze continuïteit.
Het omgekeerde, dat wil zeggen, de stelling dat #f# uniek wordt bepaald door een Fourier-reeks, geldt alleen voor continue functies. Inderdaad,
- voor continue functies volgt deze rechtstreeks uit de stelling dat een Fourier-reeks convergeert naar #f# op alle punten waar de #f# continu is;
- het hoeft niet waar te zijn voor stuksgewijze continue functies, want als we #f# de constante functie #0# laten zijn behalve op een eindig aantal punten in #\ivcc{-\pi}{\pi}#, dan volgt uit de Euler-formules tot #a_k=b_k=0#. Dus al deze functies hebben dezelfde Fourier-reeks als de constante functie #0#.
Het bewijs van convergentie zal
later worden gegeven. In onderdelen die hier volgen, zullen de Euler-formules afgeleid worden onder de aanname dat een oneindige som en een integraal verwisseld kunnen worden. Deze aanname is een gevolg van de
uniforme convergentie van de Fourier-reeks voor #f# dat
later zal worden bewezen als #f# ook nog continu is.
Aannemende dat term-voor-term integratie van de reeks is toegestaan (we zullen
later laten zien dat dit het geval is als #f# continu is), bepalen we de coëfficiënt #a_0# door integratie van de Fourier-reeks voor #f#. \[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\dd x &=&\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \left[ \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n\cos(nx) + b_n \sin(nx)) \right] \dd x \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{Fourier-reeks}}\\ &=&\displaystyle \frac{a_0}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \dd x\\&& \displaystyle+\sum_{n=1}^{\infty}\left (a_n\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx) \dd x + b_n\int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) \dd x\right) \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{verwisseling van som en integratie}}\\ &=&\displaystyle\frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi} \dd x \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{deze bepaalde integralen van cos en sin zijn nul}}\\ &=&\displaystyle a_0 \cdot \pi \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{eenvoudige bepaalde integratie}}\\ \end{array}\] We concluderen dat #a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\dd x#.
Laat #n# een natuurlijk getal zijn. Aannemende dat term-voor-term integratie van de reeks is toegestaan (later zullen we zien dat dit het geval is als #f# continu is), bepalen we de coëfficiënt #a_n# door integratie van de Fourier-reeks voor #f#. We vermenigvuldigen de Fourier-reeks identiteit met #\cos(nx)# en nemen de bepaalde integraal van het resultaat van #-\pi# naar #\pi#. We gebruiken het gemakkelijk verifieerbare feit dat de integralen #\int_{-\pi}^{\pi}\cos(\ell x)\dd x# en #\int_{-\pi}^{\pi}\sin(m x)\dd x# nul zijn wanneer #\ell# een geheel getal ongelijk nul is en #m# een geheel getal. We gebruiken ook de product naar somformules voor goniometrische functies.
Bovendien nemen we aan dat de reeksen #\sum_{k=1}^{\infty} a_k\cos(kx)# en #\sum_{k=1}^{\infty} b_k\sin(kx)# convergeren en dat bepaalde integralen van #-\pi# tot #\pi# van deze reeks gelijk zijn aan de oneindige som van dezelfde bepaalde integralen over de termen.
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\dd x &=&\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \left[ \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} (a_k\cos(kx) + k_n \sin(kx))\cdot{\cos(nx)} \right] \dd x \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{Fourier-reeks}}\\ &=&\displaystyle\frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}{\cos(nx)} \dd x\\&&\displaystyle + \sum_{k=1}^{\infty} \left( a_k \int_{-\pi}^{\pi} \cos(kx){\cos(nx)} \dd x \right)\\&&\displaystyle + \sum_{k=1}^{\infty} \left( b_k\int_{-\pi}^{\pi} \sin(kx){\cos(nx)} \dd x \right) \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{verwisseling van sommatie en integratie}}\\&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{a_k}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \left(\cos((k-n)x)+\cos((k+n)x\right) \dd x \right]\\ &&\displaystyle + \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{b_k}{2}\int_{-\pi}^{\pi} \left(\sin((n-k)x)+\sin((k+n)x)\right) \dd x \right] \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{eerste integraal is nul; product naar som formule toegepast}}\\&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{a_k}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \cos((k-n)x)\dd x \right]+\sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{a_k}{2} \int_{-\pi}^{\pi}\cos((k+n)x) \dd x \right]\\ &&\displaystyle + \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{b_k}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\sin((n-k)x) \dd x \right]+ \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{b_k}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\sin((k+n)x) \dd x \right]\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{som of limieten is limiet van de som}}\\&=&\displaystyle \frac{a_n}{2} \int_{-\pi}^{\pi}\cos(0) \dd x \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{alleen de eerste integraal met }k=n\text{ is ongelijk aan nul}}\\&=&\displaystyle a_n \cdot \pi \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{eenvoudige bepaalde integratie}}\\ \end{array}\] We concluderen dat #a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\dd x#.
We gaan te werk als voor de coëfficiënten van de cosinussen. Laat #n# een natuurlijk getal zijn. Wij gebruiken het gemakkelijk te verifiëren feit dat de integralen #\int_{-\pi}^{\pi}\cos(\ell x)\dd x# en #\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\dd x# nul zijn wanneer #\ell# is een geheel getal ongelijk aan nul is en #m# een geheel getal. We gebruiken ook de product naar somformules voor goniometrische functies.
Bovendien nemen we aan dat de reeksen #\sum_{k=1}^{\infty} a_k\cos(kx)# en #\sum_{k=1}^{\infty} b_k\sin(kx)# convergeren en dat bepaalde integralen van #-\pi# tot #\pi# van deze reeks zijn gelijk aan de oneindige som van dezelfde bepaalde integralen over termen. We zullen later laten zien dat dit het geval is als #f# continu is. We bepalen de coëfficiënt #b_n# door integratie van de Fourier-reeks voor #f#. We vermenigvuldigen de Fourier-reeks identiteit met #\cos(nx)# en neem de integraal:
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\dd x &=&\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \left( \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} (a_k\cos(kx) + k_n \sin(kx))\cdot{\sin(nx)} \right) \dd x \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{Fourier-reeks}}\\ &=&\displaystyle\frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}{\sin(nx)} \dd x\\&&\displaystyle + \sum_{k=1}^{\infty} \left( a_k \int_{-\pi}^{\pi} \cos(kx){\sin(nx)} \dd x \right)\\&&\displaystyle + \sum_{k=1}^{\infty} \left( b_k\int_{-\pi}^{\pi} \sin(kx){\sin(nx)} \dd x \right) \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{verwisseling van sommatie and integratie}}\\&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{a_k}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \left(\sin((n-k)x)+\sin((n+k)x\right) \dd x \right)\\ &&\displaystyle + \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{b_k}{2}\int_{-\pi}^{\pi} \left(\cos((k-n)x)-\cos((k+n)x)\right) \dd x \right) \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{eerste integraal is nul; product naar som formule toegepast}}\\&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{a_k}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \sin((n-k)x)\dd x \right)+\sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{a_k}{2} \int_{-\pi}^{\pi}\sin((n+k)x) \dd x \right)\\ &&\displaystyle + \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{b_k}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos((k-n)x) \dd x \right)-\sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{b_k}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos((k+n)x) \dd x \right) \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{som van limieten is limiet van de som}}\\&=&\displaystyle \frac{b_n}{2} \int_{-\pi}^{\pi}\cos(0) \dd x \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{alleen de derde intergaal met }k=n\text{ is ongelijk aan nul}}\\&=&\displaystyle b_n \cdot \pi \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{eenvoudige bepaalde integratie}}\\ \end{array}\] We concluderen dat #b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\dd x#.
In termen van de inproductruimte van #2\pi#-periodieke stuksgewijs continue functies met inproduct \[\dotprod{f}{g} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cdot g(x)\,\dd x\] en orthonormaal stelsel #\frac12,\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),\ldots# kunnen de Euler-formules worden herschreven als \[ \begin{array}{rclcl}a_0 &=& \displaystyle \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cdot \frac12\dd x &=& \dotprod{f}{\dfrac12}\\ a_k &=&\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(k x) \dd x &=& \dotprod{f}{\cos(kx)}\\ b_k &=&\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(k x) \dd x &=& \dotprod{f}{\sin(kx)}\end{array}\]
Bereken de Fourier-reeks van de reële periodieke functie #f# die gedefinieerd is door
\[f(x) = \euler^{x} \qquad \text{voor}\qquad -\pi \leq x \lt \pi\] en uitgebreid wordt tot #\mathbb{R}# door periodiciteit met periode #2\pi#.
De Fourier-reeks van #f# is \({{\euler^{\pi}-\euler^ {- \pi }}\over{\pi}} \cdot\left({{1}\over{2}} + \sum_{n=1}^{\infty} {{{\left(-1\right)^{n}\cdot \left(\cos \left(n x \right)-n\cdot \sin \left(n x \right)\right)}\over{n^2+1}}}\right) \)
Vanwege de
Euler-formule voor #a_n# geldt, voor #n\ge0#,
\[\begin{array}{rcl}a_n &=& \displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \euler^{x}\,\cos(n x) \dd x\\ &=&
\displaystyle\frac{1}{\pi} \left[{{\euler^{x}\cdot \left(n\cdot \sin \left(n\cdot x\right)+\cos \left(n\cdot x\right)\right)}\over{n^2+1}} \right]_{-\pi}^{\pi} \\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{fundamentaalstelling van de Analyse}}\\ &=&\displaystyle\frac{1}{\pi} \left({{\euler^{\pi}\cdot \left(n\cdot \sin \left(\pi\cdot n\right)+\cos \left(\pi\cdot n\right)\right)}\over{n^2+1}}-{{\euler^ {- \pi }\cdot \left(\cos \left(\pi\cdot n\right)-n\cdot \sin \left(\pi\cdot n\right)\right)}\over{n^2+1}} \right) \\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{grenswaarden ingevuld}}\\
\displaystyle&=&\displaystyle {{\left(\euler^{\pi}-\euler^ {- \pi }\right)\cdot \left(-1\right)^{n}}\over{\pi\cdot \left(n^2+1\right)}} \\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\\ \end{array}
\]
Ook geldt, voor #n\ge1#,
\[\begin{array}{rcl}b_n &=& \displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \euler^{x}\,\sin(n x) \dd x\\ &=&
\displaystyle\frac{1}{\pi} \left[{{\euler^{x}\cdot \left(\sin \left(n\cdot x\right)-n\cdot \cos \left(n\cdot x\right)\right)}\over{n^2+1}} \right]_{-\pi}^{\pi} \\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{fundamentaalstelling van de Analyse}}\\ &=&\displaystyle\frac{1}{\pi} \left({{\euler^{\pi}\cdot \left(\sin \left(\pi\cdot n\right)-n\cdot \cos \left(\pi\cdot n\right)\right)}\over{n^2+1}}-{{\euler^ {- \pi }\cdot \left(-\sin \left(\pi\cdot n\right)-n\cdot \cos \left(\pi\cdot n\right)\right)}\over{n^2+1}} \right) \\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{grenswaarden ingevuld}}\\
\displaystyle&=&\displaystyle {{\left(\euler^ {- \pi }-\euler^{\pi}\right)\cdot n\cdot \left(-1\right)^{n}}\over{\pi\cdot \left(n^2+1\right)}} \\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\\ \end{array}
\]
Dientengevolge is de Fourier-reeks van #f# gelijk aan
\[ \begin{array}{cl}&\displaystyle\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right) \\ &\displaystyle = {{\euler^{\pi}-\euler^ {- \pi }}\over{2\cdot \pi}}+ \sum_{n=1}^{\infty}\left( {{\left(\euler^{\pi}-\euler^ {- \pi }\right)\cdot \left(-1\right)^{n}}\over{\pi\cdot \left(n^2+1\right)}} \cdot\cos(nx)+{{\left(\euler^ {- \pi }-\euler^{\pi}\right)\cdot n\cdot \left(-1\right)^{n}}\over{\pi\cdot \left(n^2+1\right)}}\cdot \sin(nx)\right)\\ &= \displaystyle {{\euler^{\pi}-\euler^ {- \pi }}\over{\pi}} \cdot\left({{1}\over{2}} + \sum_{n=1}^{\infty} {{{\left(-1\right)^{n}\cdot \left(\cos \left(n x \right)-n\cdot \sin \left(n x \right)\right)}\over{n^2+1}}}\right) \end{array}\]
Als gevolg van de puntsgewijze convergentie van de reeks geëvalueerd in #0# vinden we dat
\[\sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2+1} = \frac{\pi}{\ee^{\pi}-\ee^{-\pi}}\]
Berekening van Fourier-coëfficiënten
