#\int \cos(y)^8\cdot \sin(y) \,\dd y=# #-{{\cos(y)^9}\over{9}} + C#

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Aplicamos el método de sustitución con #g(y)=-y^8# y #h(y)=\cos(y)#, porque en ese caso se aplica #g(h(y)) \cdot h'(y)=\cos(y)^8\cdot \sin(y)#. Esto se realiza de la siguiente manera:
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cos(y)^8\cdot \sin(y) \,\dd y&=& \displaystyle \int -\cos(y)^8 \cdot -\sin(y) \, \dd y \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 2: volver a escribir en la forma }\int g(h(y)) \cdot h'(y) \, \dd y \\
\text{ con } h'(y)=-\sin(y)} \\ &=& \displaystyle \int \left(-\cos(y)^8 \right) \, \dd(\cos(y)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 3: volver a escribir usando }h'(y)=\dd (h(y))} \\ &=& \displaystyle \int -u^8 \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 4: sustituir }\cos(y)=u} \\ &=& \displaystyle -{{u^9}\over{9}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 5: encontrar la antiderivada}} \\ &=& \displaystyle -{{\cos(y)^9}\over{9}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 6: sustituir }u=\cos(y)}
\end{array}\]