Functies: Hogeregraadsfuncties
Hogeregraadsvergelijkingen en de abc-formule
Sommige vergelijkingen met polynomen kunnen we oplossen met de abc-formule. We gebruiken hiervoor substitutie.
|
Stappenplan We lossen een vergelijking met polynomen in #x# op met de abc-formule. |
Voorbeeld #2x^4+3x^2-2=0# |
|
| Stap 1 | Schrijf de vergelijking in de vorm #a \blue x^{\blue n \cdot 2}+b \blue{x^n} +c=0#. | #2\blue{x}^{\blue2 \cdot 2}+3\blue{x^2}-2=0# |
| Stap 2 | Substitueer #\blue{x^n}=\green u#. | #2\green u^2+3\green u-2=0# |
| Stap 3 | Los de ontstane kwadratische vergelijking in #\green u# op met de abc-formule. | #\green u=-2 \lor \green u =\tfrac{1}{2}# |
| Stap 4 | Substitueer #\green u =\blue{x^n}# in de gevonden oplossing(en). | #\blue{x^2}=-2 \lor \blue{x^2}=\tfrac{1}{2}# |
| Stap 5 | Bepaal de oplossingen in #x# van de in stap 4 ontstane vergelijkingen. | #x=-\tfrac{1}{\sqrt{2}} \lor x=\tfrac{1}{\sqrt{2}}# |
#x=\sqrt[3]{-3} \lor x=\sqrt[3]{-{{8}\over{9}}} #
| Stap 1 | We schrijven de vergelijking in de vorm: \[3 x^{2 \cdot 3}+{{35}\over{3}} x^{3}+8=0\] |
| Stap 2 | We substitueren #x^3=u#. Dat geeft: \[3 u^2+{{35}\over{3}} u+8=0\] |
| Stap 3 | We lossen de ontstane vergelijking in #u# op met de abc-formule. De discriminant is gelijk aan: \[\begin{array}{rcl}D&=&b^2-4ac \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule voor de discriminant}}\\ &=& \left({{35}\over{3}}\right)^2-4 \cdot 3 \cdot 8 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule ingevuld}}\\ &=& {{361}\over{9}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{uitgerekend}}\end{array}\] Aangezien de discriminant positief is, zijn er twee oplossingen. Deze zijn: \[\begin{array}{rcl}u=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} &\lor& u=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule voor de oplossingen}}\\ u=\frac{-{{{35}\over{3}}}-\sqrt{{{361}\over{9}}}}{2 \cdot 3} &\lor& u=\frac{-{{{35}\over{3}}}+\sqrt{{{361}\over{9}}}}{2 \cdot 3}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule ingevuld}}\\ u=-3 &\lor& u=-{{8}\over{9}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{uitgerekend}}\end{array}\] |
| Stap 4 | Nu substitueren we #u=x^{3}# in de gevonden oplossingen dat geeft \[x^{3}=-3 \lor x^{3}=-{{8}\over{9}}\] |
| Stap 5 | Tot slot lossen we deze vergelijkingen op de wortel te nemen. Dat geeft als oplossingen van de oorspronkelijke vergelijking: \[x=\sqrt[3]{-3} \lor x=\sqrt[3]{-{{8}\over{9}}}\] |
Ontgrendel volledige toegang
Toegang voor leraar
Vraag een demo account aan. Wij helpen je graag op weg met onze digitale leeromgeving.
